微积分前 | VizaLearn

在数学中，函数是一个基本概念，描述了两组之间的关系。可以把它想象成一台机器：你输入一些东西，函数处理它以产生一个唯一的输出。理解函数对于在预科微积分及更高课程中取得成功至关重要。

形式上，函数是输入集合（称为定义域）和允许的输出集合（称为值域）之间的关系，其属性是每个输入都与恰好一个输出相关。这种“一对一”或“多对一”的映射是将函数与更一般的关系区分开来的原因。

函数的定义域是函数定义的所有可能的输入值集合（通常表示为 \(x\) ）。简单来说，就是允许你插入函数的所有值。

函数的值域是函数可以产生的所有可能的输出值集合（通常表示为 \(y\) 或 \(f(x)\) ）。它是插入来自定义域的所有有效输入值后获得的所有结果的集合。

寻找定义域通常涉及寻找限制。常见的限制包括：

例如，考虑函数 \( f(x) = \frac{1}{x-2} \) 。定义域是除了 \(x = 2\) 之外的所有实数，因为代入 2 会导致除以零。我们可以将其写为 \(x \neq 2\) 。

寻找值域可能比寻找定义域更棘手。它通常涉及分析函数的行为，考虑其图形，有时使用代数技术求解 \(x\) （以 \(y\) 表示）。例如，如果 \(f(x) = x^2\) ，则值域是所有非负实数，因为对任何实数求平方总是会产生大于或等于零的值。

图形是理解定义域和值域的强大工具。定义域是图形覆盖的所有 \(x\) 值集合，值域是图形覆盖的所有 \(y\) 值集合。通过查看图形，你可以快速识别对输入或输出值的任何限制。

有很多不同类型的函数，每种函数都有其独特的属性和特征。以下是一些常见的类型：

线性函数： 形式为 \(f(x) = mx + b\) 的函数，其中 \(m\) 是斜率， \(b\) 是 y 轴截距。它们的图形是直线。
二次函数： 形式为 \(f(x) = ax^2 + bx + c\) 的函数，其中 \(a\) 、 \(b\) 和 \(c\) 是常数，且 \(a \neq 0\) 。它们的图形是抛物线。
多项式函数： 若干项之和的函数，其中每一项都是一个常数乘以 \(x\) 的非负整数幂。
有理函数： 两个多项式的比率的函数，例如 \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\) ，其中 \(P(x)\) 和 \(Q(x)\) 是多项式。
指数函数： 形式为 \(f(x) = a^x\) 的函数，其中 \(a\) 是一个正的常数，且 \(a \neq 1\) 。
对数函数： 指数函数的逆函数，例如 \(f(x) = \log_a(x)\) ，其中 \(a\) 是一个正的常数，且 \(a \neq 1\) 。
三角函数： 诸如正弦、余弦和正切之类的函数，它们将三角形的角与其边的比率相关联。

线性函数很容易通过其恒定的变化率（斜率）来识别。它们具有一般形式 \(f(x) = mx + b\) 。线性函数的定义域是所有实数，除非受到真实世界环境的限制。

定义为 \(f(x) = ax^2 + bx + c\) 的二次函数会创建一个抛物线。定义域是所有实数，但值域取决于抛物线是向上开口（如果 \(a > 0\) ）还是向下开口（如果 \(a < 0\) ）。

这些函数是通过将 \(c x^n\) 形式的项相加而构建的，其中 \(c\) 是一个常数， \(n\) 是一个非负整数。定义域通常是所有实数。例如， \(f(x) = 3x^4 - 2x^2 + x - 5\) 是一个多项式函数。

表示为两个多项式 \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\) 的比率的有理函数需要仔细注意定义域。你必须排除任何使分母 \(Q(x)\) 等于零的 \(x\) 值。

指数函数增长（或衰减）迅速。它们具有 \(f(x) = a^x\) 的形式，其中 \(a\) 是一个正的常数。定义域是所有实数，如果 \(a > 0\) ，则值域是所有正实数。

对数函数是指数函数的逆函数。常见的形式是 \(f(x) = \log_a(x)\) 。定义域是所有正实数（即， \(x > 0\) ），值域是所有实数。

三角函数（正弦、余弦、正切等）是周期性的，并将角度与三角形中边的比率相关联。它们的定义域和值域可能因具体函数而异，并且它们通常表现出重复的模式。

函数可以通过几种方式表示：

理解函数、它们的定义域和值域以及不同类型的函数是预科微积分和更高级别数学的关键基础。练习识别定义域和值域，并熟悉不同函数类型的特征，以建立对这一基本概念的深刻理解。