レッスン
関数の紹介
数学において、関数は2つの集合の関係を記述する基本的な概念です。関数を機械のように考えてください。何かを入力すると、関数がそれを処理して一意の出力を生成します。関数を理解することは、プレ計算とその先で成功するために非常に重要です。
関数とは？
形式的には、関数は、入力の集合（定義域と呼ばれる）と許容される出力の集合（値域と呼ばれる）の間の関係であり、各入力が正確に1つの出力に関連付けられているという特性を持ちます。この「1対1」または「多対1」のマッピングが、関数をより一般的な関係と区別するものです。
定義域と値域
関数の定義域は、関数が定義されるすべての可能な入力値の集合（しばしば \(x\) として示されます）です。簡単に言うと、関数にプラグインできるすべての値です。
関数の値域は、関数が生成できるすべての可能な出力値の集合（しばしば \(y\) または \(f(x)\) として示されます）です。これは、定義域からのすべての有効な入力値をプラグインした後に得られるすべての結果の集合です。
定義域の決定
定義域を見つけるには、制限を探すことがよくあります。一般的な制限は次のとおりです。
- ゼロ除算：分数の分母はゼロにできません。
- 負の数の平方根：（実数系では）負の数の平方根を取ることはできません。
- 非正の数の対数：正の数の対数のみを取ることができます。
たとえば、関数 \( f(x) = \frac{1}{x-2} \) を考えてみましょう。定義域は、 \(x = 2\) を除くすべての実数です。2をプラグインするとゼロ除算になるためです。これを \(x \neq 2\) として記述できます。
値域の決定
値域を見つけることは、定義域を見つけるよりも少し難しい場合があります。これには、関数の動作の分析、グラフの検討、および場合によっては \(y\) に関して \(x\) を解くための代数的手法を使用することが含まれます。たとえば、 \(f(x) = x^2\) の場合、値域はすべての非負の実数です。実数を2乗すると、常にゼロ以上の値になるためです。
グラフを使用した定義域と値域の視覚化
グラフは、定義域と値域を理解するための強力なツールです。定義域は、グラフがカバーするすべての \(x\) 値の集合であり、値域は、グラフがカバーするすべての \(y\) 値の集合です。グラフを見ることで、入力値または出力値に対する制限をすばやく特定できます。
関数の種類
関数にはさまざまな種類があり、それぞれに独自の特性と特徴があります。一般的なタイプを次に示します。
- 線形関数： \(f(x) = mx + b\) の形式の関数。 \(m\) は傾き、 \(b\) はy切片です。それらのグラフは直線です。
- 二次関数： \(f(x) = ax^2 + bx + c\) の形式の関数。 \(a\) 、 \(b\) 、および \(c\) は定数であり、 \(a \neq 0\) です。それらのグラフは放物線です。
- 多項式関数：項の合計である関数。各項は、 \(x\) の非負の整数乗を掛けた定数です。
- 有理関数：2つの多項式の比である関数。たとえば、 \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\) など。 \(P(x)\) と \(Q(x)\) は多項式です。
- 指数関数： \(f(x) = a^x\) の形式の関数。 \(a\) は正の定数であり、 \(a \neq 1\) です。
- 対数関数：指数関数の逆関数である関数。たとえば、 \(f(x) = \log_a(x)\) など。 \(a\) は正の定数であり、 \(a \neq 1\) です。
- 三角関数：三角形の角度と辺の比率を関連付ける、正弦、余弦、正接などの関数。
線形関数
線形関数は、変化率（傾き）が一定であるため、簡単に認識できます。それらは一般的な形式 \(f(x) = mx + b\) を持っています。線形関数の定義域は、現実世界のコンテキストによって制限されない限り、すべての実数です。
二次関数
\(f(x) = ax^2 + bx + c\) として定義される二次関数は、放物線を作成します。定義域はすべての実数ですが、値域は放物線が上向きに開くか（ \(a > 0\) の場合）、下向きに開くか（ \(a < 0\) の場合）によって異なります。
多項式関数
これらは、 \(c x^n\) の形式の項を加算して構築された関数です。 \(c\) は定数で、 \(n\) は非負の整数です。定義域は通常、すべての実数です。たとえば、 \(f(x) = 3x^4 - 2x^2 + x - 5\) は多項式関数です。
有理関数
2つの多項式 \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\) の比として表される有理関数は、定義域に注意が必要です。分母である \(Q(x)\) をゼロにする \(x\) 値を除外する必要があります。
指数関数
指数関数は急速に成長（または減衰）します。それらは \(f(x) = a^x\) の形式を持ち、 \(a\) は正の定数です。定義域はすべての実数であり、値域は \(a > 0\) の場合、すべての正の実数です。
対数関数
対数関数は、指数関数の逆関数です。一般的な形式は \(f(x) = \log_a(x)\) です。定義域はすべての正の実数（つまり、 \(x > 0\) ）であり、値域はすべての実数です。
三角関数
三角関数（正弦、余弦、正接など）は周期的であり、角度を三角形の辺の比率に関連付けます。それらの定義域と値域は、特定の関数によって異なり、多くの場合、繰り返しのパターンを示します。
関数の表現
関数は、いくつかの方法で表現できます。
- 方程式： \(f(x) = 2x + 3\) のような、入力と出力の関係を定義する式。
- グラフ：座標平面上の関数の視覚的表現。
- 表：特定の入力値と対応する出力値を示す値の表。
- 言葉：入力と出力の関係の口頭説明。
結論
関数、その定義域と値域、およびさまざまな種類の関数を理解することは、プレ計算と高レベルの数学にとって非常に重要な基礎です。定義域と値域の特定を練習し、さまざまな関数タイプの特性を理解して、この基本的な概念をしっかりと理解してください。