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फलनों का परिचय

गणित में, फलन एक मौलिक अवधारणा है जो दो सेटों के बीच संबंध का वर्णन करती है। इसे एक मशीन के रूप में सोचें: आप कुछ इनपुट करते हैं, और फलन एक अद्वितीय आउटपुट उत्पन्न करने के लिए इसे संसाधित करता है। प्री-कैलकुलस और उससे आगे में सफलता के लिए फलनों को समझना महत्वपूर्ण है।

फलन क्या है?

औपचारिक रूप से, एक फलन इनपुट (जिसे डोमेन कहा जाता है) के एक सेट और अनुमेय आउटपुट (जिसे रेंज कहा जाता है) के एक सेट के बीच एक संबंध है, जिसमें यह गुण होता है कि प्रत्येक इनपुट बिल्कुल एक आउटपुट से संबंधित है। यह "एक-से-एक" या "कई-से-एक" मैपिंग ही है जो एक फलन को अधिक सामान्य संबंध से अलग करती है।

डोमेन और रेंज

एक फलन का डोमेन सभी संभावित इनपुट मानों का सेट है (जिसे अक्सर \(x\) के रूप में दर्शाया जाता है) जिसके लिए फलन परिभाषित है। सरल शब्दों में, यह वे सभी मान हैं जिन्हें आप फलन में प्लग करने की अनुमति देते हैं।

एक फलन की रेंज सभी संभावित आउटपुट मानों का सेट है (जिसे अक्सर \(y\) या \(f(x)\) के रूप में दर्शाया जाता है) जो फलन उत्पन्न कर सकता है। यह डोमेन से सभी मान्य इनपुट मानों को प्लग इन करने के बाद आपको मिलने वाले सभी परिणामों का संग्रह है।

डोमेन का निर्धारण

डोमेन को खोजने में अक्सर प्रतिबंधों की तलाश करना शामिल होता है। सामान्य प्रतिबंधों में शामिल हैं:

• शून्य से विभाजन: भिन्न का हर शून्य नहीं हो सकता।
• ऋणात्मक संख्याओं के वर्गमूल: आप ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल नहीं ले सकते (वास्तविक संख्या प्रणाली में)।
• गैर-धनात्मक संख्याओं के लघुगणक: आप केवल धनात्मक संख्याओं का लघुगणक ही ले सकते हैं।

उदाहरण के लिए, फलन \( f(x) = \frac{1}{x-2} \) पर विचार करें। डोमेन \(x = 2\) को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं, क्योंकि 2 में प्लग करने से शून्य से विभाजन होगा। हम इसे \(x \neq 2\) के रूप में लिख सकते हैं।

रेंज का निर्धारण

रेंज ढूँढना डोमेन ढूँढने की तुलना में थोड़ा मुश्किल हो सकता है। इसमें अक्सर फलन के व्यवहार का विश्लेषण करना, उसके ग्राफ पर विचार करना और कभी-कभी \(y\) के संदर्भ में \(x\) को हल करने के लिए बीजगणितीय तकनीकों का उपयोग करना शामिल होता है। उदाहरण के लिए, यदि \(f(x) = x^2\) , तो रेंज सभी गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं, क्योंकि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग करने से हमेशा शून्य से अधिक या उसके बराबर मान प्राप्त होगा।

ग्राफ के साथ डोमेन और रेंज को विज़ुअलाइज़ करना

ग्राफ डोमेन और रेंज को समझने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण हैं। डोमेन सभी \(x\) -मानों का सेट है जिसे ग्राफ कवर करता है, और रेंज सभी \(y\) -मानों का सेट है जिसे ग्राफ कवर करता है। ग्राफ को देखकर, आप इनपुट या आउटपुट मानों पर किसी भी प्रतिबंध की तुरंत पहचान कर सकते हैं।

फलनों के प्रकार

कई अलग-अलग प्रकार के फलन होते हैं, जिनमें से प्रत्येक की अपनी अनूठी विशेषताएँ और गुण होते हैं। यहाँ कुछ सामान्य प्रकार दिए गए हैं:

• रैखिक फलन: \(f(x) = mx + b\) के रूप के फलन, जहाँ \(m\) ढलान है और \(b\) y-अवरोधन है। उनके ग्राफ सीधी रेखाएँ हैं।
• द्विघात फलन: \(f(x) = ax^2 + bx + c\) के रूप के फलन, जहाँ \(a\) , \(b\) , और \(c\) स्थिरांक हैं और \(a \neq 0\) । उनके ग्राफ परवलय हैं।
• बहुपद फलन: फलन जो पदों के योग हैं, जिनमें से प्रत्येक \(x\) की गैर-ऋणात्मक पूर्णांक शक्ति से गुणा किया गया एक स्थिरांक है।
• परिमेय फलन: फलन जो दो बहुपदों के अनुपात हैं, जैसे \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\) , जहाँ \(P(x)\) और \(Q(x)\) बहुपद हैं।
• चरघातांकी फलन: \(f(x) = a^x\) के रूप के फलन, जहाँ \(a\) एक धनात्मक स्थिरांक है और \(a \neq 1\) ।
• लघुगणकीय फलन: फलन जो चरघातांकी फलनों के व्युत्क्रम हैं, जैसे \(f(x) = \log_a(x)\) , जहाँ \(a\) एक धनात्मक स्थिरांक है और \(a \neq 1\) ।
• त्रिकोणमितीय फलन: फलन जैसे साइन, कोसाइन और टैंजेंट, जो त्रिभुज के कोणों को उसकी भुजाओं के अनुपातों से संबंधित करते हैं।

रैखिक फलन

रैखिक फलन उनकी परिवर्तन की स्थिर दर (ढलान) से आसानी से पहचाने जा सकते हैं। उनका सामान्य रूप \(f(x) = mx + b\) है। एक रैखिक फलन का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं जब तक कि वास्तविक दुनिया के संदर्भ द्वारा प्रतिबंधित न हो।

द्विघात फलन

द्विघात फलन, जिसे \(f(x) = ax^2 + bx + c\) के रूप में परिभाषित किया गया है, एक परवलयिक वक्र बनाते हैं। डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं, लेकिन सीमा इस बात पर निर्भर करती है कि परवलय ऊपर की ओर खुलता है (यदि \(a > 0\) ) या नीचे की ओर (यदि \(a < 0\) )।

बहुपद फलन

ये फलन \(c x^n\) के रूप के पदों को जोड़कर बनाए जाते हैं, जहाँ \(c\) एक स्थिरांक है और \(n\) एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है। डोमेन आमतौर पर सभी वास्तविक संख्याएँ होती हैं। उदाहरण के लिए, \(f(x) = 3x^4 - 2x^2 + x - 5\) एक बहुपद फलन है।

परिमेय फलन

परिमेय फलन, जिसे दो बहुपदों \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\) के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जाता है, डोमेन पर सावधानीपूर्वक ध्यान देने की आवश्यकता होती है। आपको किसी भी \(x\) मान को बाहर करना होगा जो हर, \(Q(x)\) , को शून्य के बराबर बनाते हैं।

चरघातांकी फलन

चरघातांकी फलन तेजी से बढ़ते (या क्षय) होते हैं। उनका रूप \(f(x) = a^x\) है जहाँ \(a\) एक धनात्मक स्थिरांक है। डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं, और सीमा सभी धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं यदि \(a > 0\) ।

लघुगणकीय फलन

लघुगणकीय फलन चरघातांकी फलनों के व्युत्क्रम होते हैं। एक सामान्य रूप \(f(x) = \log_a(x)\) है। डोमेन सभी धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं (अर्थात, \(x > 0\) ), और सीमा सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।

त्रिकोणमितीय फलन

त्रिकोणमितीय फलन (साइन, कोसाइन, टैंजेंट, आदि) आवधिक होते हैं और कोणों को त्रिभुजों में भुजाओं के अनुपातों से संबंधित करते हैं। उनके डोमेन और रेंज विशिष्ट फलन के आधार पर भिन्न हो सकते हैं, और वे अक्सर दोहराए जाने वाले पैटर्न प्रदर्शित करते हैं।

फलनों का प्रतिनिधित्व

फलनों को कई तरीकों से दर्शाया जा सकता है:

1. समीकरण: एक सूत्र जो इनपुट और आउटपुट के बीच संबंध को परिभाषित करता है, जैसे \(f(x) = 2x + 3\) ।
2. ग्राफ: एक समन्वय तल पर फलन का एक दृश्य प्रतिनिधित्व।
3. तालिकाएँ: मूल्यों की एक तालिका जो विशिष्ट मूल्यों के लिए इनपुट और संबंधित आउटपुट दिखाती है।
4. शब्द: इनपुट और आउटपुट के बीच संबंध का एक शाब्दिक विवरण।

निष्कर्ष

फलनों, उनके डोमेन और रेंज, और विभिन्न प्रकार के फलनों को समझना प्री-कैलकुलस और उच्च-स्तरीय गणित के लिए एक महत्वपूर्ण आधार है। डोमेन और रेंज की पहचान करने का अभ्यास करें, और इस मौलिक अवधारणा की एक मजबूत समझ बनाने के लिए विभिन्न फलन प्रकारों की विशेषताओं से खुद को परिचित करें।