Introduction aux fonctions
En mathématiques, une fonction est un concept fondamental qui décrit une relation entre deux ensembles. Considérez-la comme une machine : vous entrez quelque chose, et la fonction le traite pour produire une sortie unique. Comprendre les fonctions est essentiel pour réussir en pré-calcul et au-delà.
Qu'est-ce qu'une fonction ?
Formellement, une fonction est une relation entre un ensemble d'entrées (appelé le domaine) et un ensemble de sorties admissibles (appelé l'image) avec la propriété que chaque entrée est liée à exactement une sortie. Cette correspondance « un-à-un » ou « plusieurs-à-un » est ce qui distingue une fonction d'une relation plus générale.
Domaine et image
Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'entrée possibles (souvent noté \(x\) ) pour lesquelles la fonction est définie. En termes plus simples, ce sont toutes les valeurs que vous êtes autorisé à brancher dans la fonction.
L'image d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs de sortie possibles (souvent noté \(y\) ou \(f(x)\) ) que la fonction peut produire. C'est la collection de tous les résultats que vous obtenez après avoir branché toutes les valeurs d'entrée valides du domaine.
Déterminer le domaine
La recherche du domaine implique souvent la recherche de restrictions. Les restrictions courantes incluent :
- Division par zéro : Le dénominateur d'une fraction ne peut pas être zéro.
- Racines carrées de nombres négatifs : Vous ne pouvez pas prendre la racine carrée d'un nombre négatif (dans le système de nombres réels).
- Logarithmes de nombres non positifs : Vous ne pouvez prendre le logarithme que de nombres positifs.
Par exemple, considérez la fonction \( f(x) = \frac{1}{x-2} \) . Le domaine est constitué de tous les nombres réels sauf \(x = 2\) , car le fait de brancher 2 entraînerait une division par zéro. Nous pouvons écrire ceci comme \(x \neq 2\) .
Déterminer l'image
Trouver l'image peut être un peu plus délicat que de trouver le domaine. Cela implique souvent d'analyser le comportement de la fonction, de considérer son graphique et parfois d'utiliser des techniques algébriques pour résoudre \(x\) en termes de \(y\) . Par exemple, si \(f(x) = x^2\) , l'image est constituée de tous les nombres réels non négatifs, car la mise au carré d'un nombre réel donnera toujours une valeur supérieure ou égale à zéro.
Visualisation du domaine et de l'image avec un graphique
Les graphiques sont un outil puissant pour comprendre le domaine et l'image. Le domaine est l'ensemble de toutes les valeurs de \(x\) que le graphique couvre, et l'image est l'ensemble de toutes les valeurs de \(y\) que le graphique couvre. En regardant le graphique, vous pouvez rapidement identifier les restrictions sur les valeurs d'entrée ou de sortie.
Types de fonctions
Il existe de nombreux types de fonctions, chacune ayant ses propres propriétés et caractéristiques. Voici quelques types courants :
- Fonctions linéaires : Fonctions de la forme \(f(x) = mx + b\) , où \(m\) est la pente et \(b\) est l'ordonnée à l'origine. Leurs graphiques sont des lignes droites.
- Fonctions quadratiques : Fonctions de la forme \(f(x) = ax^2 + bx + c\) , où \(a\) , \(b\) et \(c\) sont des constantes et \(a \neq 0\) . Leurs graphiques sont des paraboles.
- Fonctions polynomiales : Fonctions qui sont des sommes de termes, chacun étant une constante multipliée par une puissance entière non négative de \(x\) .
- Fonctions rationnelles : Fonctions qui sont des ratios de deux polynômes, telles que \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\) , où \(P(x)\) et \(Q(x)\) sont des polynômes.
- Fonctions exponentielles : Fonctions de la forme \(f(x) = a^x\) , où \(a\) est une constante positive et \(a \neq 1\) .
- Fonctions logarithmiques : Fonctions qui sont l'inverse des fonctions exponentielles, telles que \(f(x) = \log_a(x)\) , où \(a\) est une constante positive et \(a \neq 1\) .
- Fonctions trigonométriques : Fonctions telles que le sinus, le cosinus et la tangente, qui relient les angles d'un triangle aux ratios de ses côtés.
Fonctions linéaires
Les fonctions linéaires sont facilement reconnaissables à leur taux de variation constant (pente). Elles ont la forme générale \(f(x) = mx + b\) . Le domaine d'une fonction linéaire est constitué de tous les nombres réels, sauf restriction due à un contexte réel.
Fonctions quadratiques
Les fonctions quadratiques, définies comme \(f(x) = ax^2 + bx + c\) , créent une courbe parabolique. Le domaine est constitué de tous les nombres réels, mais l'image dépend de l'ouverture de la parabole vers le haut (si \(a > 0\) ) ou vers le bas (si \(a < 0\) ).
Fonctions polynomiales
Ce sont des fonctions construites en additionnant des termes de la forme \(c x^n\) , où \(c\) est une constante et \(n\) est un entier non négatif. Le domaine est généralement constitué de tous les nombres réels. Par exemple, \(f(x) = 3x^4 - 2x^2 + x - 5\) est une fonction polynomiale.
Fonctions rationnelles
Les fonctions rationnelles, exprimées sous la forme d'un ratio de deux polynômes \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\) , nécessitent une attention particulière au domaine. Vous devez exclure toutes les valeurs de \(x\) qui rendent le dénominateur, \(Q(x)\) , égal à zéro.
Fonctions exponentielles
Les fonctions exponentielles croissent (ou décroissent) rapidement. Elles ont la forme \(f(x) = a^x\) où \(a\) est une constante positive. Le domaine est constitué de tous les nombres réels et l'image est constituée de tous les nombres réels positifs si \(a > 0\) .
Fonctions logarithmiques
Les fonctions logarithmiques sont les inverses des fonctions exponentielles. Une forme courante est \(f(x) = \log_a(x)\) . Le domaine est constitué de tous les nombres réels positifs (c'est-à-dire \(x > 0\) ) et l'image est constituée de tous les nombres réels.
Fonctions trigonométriques
Les fonctions trigonométriques (sinus, cosinus, tangente, etc.) sont périodiques et relient les angles aux ratios des côtés des triangles. Leurs domaines et leurs images peuvent varier en fonction de la fonction spécifique, et elles présentent souvent des motifs répétitifs.
Représentation des fonctions
Les fonctions peuvent être représentées de plusieurs manières :
- Équations : Une formule qui définit la relation entre l'entrée et la sortie, comme \(f(x) = 2x + 3\) .
- Graphiques : Une représentation visuelle de la fonction sur un plan de coordonnées.
- Tableaux : Un tableau de valeurs qui affiche l'entrée et la sortie correspondante pour des valeurs spécifiques.
- Mots : Une description verbale de la relation entre l'entrée et la sortie.
Conclusion
La compréhension des fonctions, de leur domaine et de leur image, ainsi que des différents types de fonctions, est un fondement essentiel pour le pré-calcul et les mathématiques de niveau supérieur. Entraînez-vous à identifier les domaines et les images, et familiarisez-vous avec les caractéristiques des différents types de fonctions afin de vous forger une solide compréhension de ce concept fondamental.