درس

مقدمة إلى الدوال

في الرياضيات، الدالة هي مفهوم أساسي يصف العلاقة بين مجموعتين. فكر فيها كآلة: تدخل شيئًا، وتعالجه الدالة لإنتاج مخرج فريد. يعد فهم الدوال أمرًا بالغ الأهمية للنجاح في حساب التفاضل والتكامل المسبق وما بعده.

ما هي الدالة؟

بشكل رسمي، الدالة هي علاقة بين مجموعة من المدخلات (تسمى المجال) ومجموعة من المخرجات المسموح بها (تسمى المدى) مع خاصية أن كل مدخل يرتبط بمخرج واحد بالضبط. هذا التعيين "واحد إلى واحد" أو "متعدد إلى واحد" هو ما يميز الدالة عن العلاقة الأكثر عمومية.

المجال والمدى

المجال للدالة هو مجموعة كل قيم الإدخال الممكنة (غالبًا ما يُشار إليها بـ \(x\) ) التي يتم تعريف الدالة من أجلها. بعبارات أبسط، إنها جميع القيم المسموح لك بإدخالها في الدالة.

المدى للدالة هو مجموعة كل قيم الإخراج الممكنة (غالبًا ما يُشار إليها بـ \(y\) أو \(f(x)\) ) التي يمكن أن تنتجها الدالة. إنها مجموعة كل النتائج التي تحصل عليها بعد إدخال جميع قيم الإدخال الصالحة من المجال.

تحديد المجال

غالبًا ما يتضمن العثور على المجال البحث عن قيود. تشمل القيود الشائعة ما يلي:

• القسمة على صفر: لا يمكن أن يكون مقام الكسر صفرًا.
• الجذور التربيعية للأعداد السالبة: لا يمكنك أخذ الجذر التربيعي لعدد سالب (في نظام الأعداد الحقيقية).
• اللوغاريتمات للأعداد غير الموجبة: يمكنك فقط أخذ لوغاريتم الأعداد الموجبة.

على سبيل المثال، ضع في اعتبارك الدالة \( f(x) = \frac{1}{x-2} \) . المجال هو جميع الأعداد الحقيقية باستثناء \(x = 2\) ، لأن إدخال 2 سيؤدي إلى القسمة على صفر. يمكننا كتابة هذا على النحو التالي \(x \neq 2\) .

تحديد المدى

قد يكون العثور على المدى أصعب قليلاً من العثور على المجال. غالبًا ما يتضمن تحليل سلوك الدالة، والنظر في الرسم البياني الخاص بها، وأحيانًا استخدام التقنيات الجبرية لحل \(x\) بدلالة \(y\) . على سبيل المثال، إذا \(f(x) = x^2\) ، فإن المدى هو جميع الأعداد الحقيقية غير السالبة، لأن تربيع أي عدد حقيقي سيؤدي دائمًا إلى قيمة أكبر من أو تساوي الصفر.

تصور المجال والمدى باستخدام الرسم البياني

الرسوم البيانية هي أداة قوية لفهم المجال والمدى. المجال هو مجموعة كل قيم \(x\) التي يغطيها الرسم البياني، والمدى هو مجموعة كل قيم \(y\) التي يغطيها الرسم البياني. من خلال النظر إلى الرسم البياني، يمكنك بسرعة تحديد أي قيود على قيم الإدخال أو الإخراج.

أنواع الدوال

هناك العديد من الأنواع المختلفة من الدوال، ولكل منها خصائصها وسماتها الفريدة. فيما يلي بعض الأنواع الشائعة:

• الدوال الخطية: دوال على الصورة \(f(x) = mx + b\) ، حيث \(m\) هو الميل و \(b\) هو الجزء المقطوع من المحور الصادي. الرسوم البيانية الخاصة بها عبارة عن خطوط مستقيمة.
• الدوال التربيعية: دوال على الصورة \(f(x) = ax^2 + bx + c\) ، حيث \(a\) و \(b\) و \(c\) ثوابت و \(a \neq 0\) . الرسوم البيانية الخاصة بها عبارة عن قطع مكافئ.
• الدوال متعددة الحدود: الدوال التي هي مجموع حدود، كل منها عبارة عن ثابت مضروب في قوة عدد صحيح غير سالبة لـ \(x\) .
• الدوال الكسرية: الدوال التي هي نسب بين دالتي متعددتي الحدود، مثل \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\) ، حيث \(P(x)\) و \(Q(x)\) هما دالتا متعددتي الحدود.
• الدوال الأسية: دوال على الصورة \(f(x) = a^x\) ، حيث \(a\) ثابت موجب و \(a \neq 1\) .
• الدوال اللوغاريتمية: الدوال التي هي معكوس الدوال الأسية، مثل \(f(x) = \log_a(x)\) ، حيث \(a\) ثابت موجب و \(a \neq 1\) .
• الدوال المثلثية: دوال مثل الجيب وجيب التمام والظل، والتي تربط زوايا المثلث بنسب أضلاعه.

الدوال الخطية

يمكن التعرف على الدوال الخطية بسهولة من خلال معدل التغير الثابت (الميل). لها الصورة العامة \(f(x) = mx + b\) . مجال الدالة الخطية هو جميع الأعداد الحقيقية ما لم يتم تقييده بسياق واقعي.

الدوال التربيعية

الدوال التربيعية، المعرفة بـ \(f(x) = ax^2 + bx + c\) ، تخلق منحنى قطع مكافئ. المجال هو جميع الأعداد الحقيقية، لكن المدى يعتمد على ما إذا كان القطع المكافئ مفتوحًا لأعلى (إذا \(a > 0\) ) أو لأسفل (إذا \(a < 0\) ).

الدوال متعددة الحدود

هذه دوال مبنية من إضافة حدود على الصورة \(c x^n\) ، حيث \(c\) ثابت و \(n\) عدد صحيح غير سالب. المجال عادة ما يكون جميع الأعداد الحقيقية. على سبيل المثال، \(f(x) = 3x^4 - 2x^2 + x - 5\) هي دالة متعددة الحدود.

الدوال الكسرية

تتطلب الدوال الكسرية، المعبر عنها كنسبة بين دالتي متعددتي الحدود \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}\) ، عناية فائقة بالمجال. يجب عليك استبعاد أي قيم \(x\) تجعل المقام، \(Q(x)\) ، يساوي صفرًا.

الدوال الأسية

تنمو الدوال الأسية (أو تتلاشى) بسرعة. لها الصورة \(f(x) = a^x\) حيث \(a\) ثابت موجب. المجال هو جميع الأعداد الحقيقية، والمدى هو جميع الأعداد الحقيقية الموجبة إذا \(a > 0\) .

الدوال اللوغاريتمية

الدوال اللوغاريتمية هي معكوس الدوال الأسية. الشكل الشائع هو \(f(x) = \log_a(x)\) . المجال هو جميع الأعداد الحقيقية الموجبة (أي، \(x > 0\) )، والمدى هو جميع الأعداد الحقيقية.

الدوال المثلثية

الدوال المثلثية (الجيب وجيب التمام والظل وما إلى ذلك) دورية وتربط الزوايا بنسب الأضلاع في المثلثات. يمكن أن تختلف مجالاتها ونطاقاتها اعتمادًا على الدالة المحددة، وغالبًا ما تعرض أنماطًا متكررة.

تمثيل الدوال

يمكن تمثيل الدوال بعدة طرق:

1. المعادلات: صيغة تحدد العلاقة بين المدخلات والمخرجات، مثل \(f(x) = 2x + 3\) .
2. الرسوم البيانية: تمثيل مرئي للدالة على مستوى الإحداثيات.
3. الجداول: جدول قيم يعرض المدخلات والمخرجات المقابلة لقيم محددة.
4. الكلمات: وصف لفظي للعلاقة بين المدخلات والمخرجات.

الخلاصة

يعد فهم الدوال ومجالها ومداها والأنواع المختلفة من الدوال أساسًا حاسمًا لحساب التفاضل والتكامل المسبق والرياضيات ذات المستوى الأعلى. تدرب على تحديد المجالات والنطاقات، وتعرّف على خصائص أنواع الدوال المختلفة لبناء فهم قوي لهذا المفهوم الأساسي.