Lektion

Einführung in ganze Zahlen

Willkommen in der Welt der ganzen Zahlen! In der Mathematik sind ganze Zahlen ganze Zahlen, aber mit einem Dreh: Sie können positiv, negativ oder null sein. Das Verständnis ganzer Zahlen ist ein grundlegender Schritt in der Voralgebra, da sie die Grundlage für viele mathematische Konzepte bilden, denen Sie später begegnen werden.

Was sind ganze Zahlen?

Ganze Zahlen umfassen alle positiven ganzen Zahlen (1, 2, 3, ...), alle negativen ganzen Zahlen (-1, -2, -3, ...) und Null (0). Sie enthalten *keine* Brüche, Dezimalzahlen oder Zahlen, die keinen "ganzen" Wert haben. Stellen Sie sich das wie das Zählen von Stufen auf einer Treppe vor – Sie können eine Stufe hinaufsteigen (positiv), eine Stufe hinuntersteigen (negativ) oder auf der gleichen Ebene bleiben (null). Man kann keinen halben Schritt machen!

Positive ganze Zahlen

Positive ganze Zahlen sind einfach die Zahlen, mit denen Sie beim grundlegenden Zählen am besten vertraut sind. Sie sind größer als Null. Zum Beispiel sind 1, 2, 3, 4, 5 usw. alles positive ganze Zahlen. Sie stellen Mengen dar, die größer als nichts sind.

Negative ganze Zahlen

Negative ganze Zahlen sind Zahlen, die kleiner als Null sind. Sie werden mit einem Minuszeichen (-) davor geschrieben, z. B. -1, -2, -3, -4, -5 usw. Negative ganze Zahlen stellen Mengen dar, die kleiner als nichts sind. Sie könnten sich vorstellen, dass sie Schulden oder eine Temperatur unter Null darstellen.

Null

Null (0) ist eine spezielle ganze Zahl. Sie ist weder positiv noch negativ. Sie stellt die Abwesenheit von Menge dar. Sie ist der Punkt, an dem sich positive und negative Zahlen treffen.

Darstellung von ganzen Zahlen auf einer Zahlengeraden

Eine Zahlengerade ist ein visuelles Hilfsmittel, das uns hilft, die Reihenfolge und Beziehung zwischen Zahlen, einschließlich ganzer Zahlen, zu verstehen. Auf einer Zahlengeraden befindet sich Null in der Mitte. Positive ganze Zahlen liegen rechts von Null und negative ganze Zahlen links von Null. Je weiter Sie sich nach rechts bewegen, desto größer ist die Zahl, und je weiter Sie sich nach links bewegen, desto kleiner ist die Zahl.

Verständnis von Betrag und Richtung

Ganze Zahlen haben zwei wichtige Eigenschaften: Betrag (oder Größe) und Richtung (positiv oder negativ). Der Betrag ist, wie weit die Zahl von Null entfernt ist, unabhängig davon, ob sie positiv oder negativ ist. Die Richtung gibt an, ob die Zahl größer als Null (positiv) oder kleiner als Null (negativ) ist.

Beispiele für ganze Zahlen im wirklichen Leben

Ganze Zahlen werden in vielen realen Situationen verwendet:

Temperatur: Temperaturen können über Null (positiv) oder unter Null (negativ) liegen. Zum Beispiel ist 25°C eine positive ganze Zahl, während -5°C eine negative ganze Zahl ist.
Bankkonten: Sie können Geld auf Ihrem Konto haben (positiv) oder überzogen sein (negativ). Ein Guthaben von 100 $ ist eine positive ganze Zahl, während eine Schuld von 50 $ eine negative ganze Zahl (-50) ist.
Höhe: Die Höhe kann über dem Meeresspiegel (positiv) oder unter dem Meeresspiegel (negativ) liegen.
Sport: In einigen Sportarten, wie z. B. Golf, können die Ergebnisse über Par (positiv) oder unter Par (negativ) liegen.

Vergleichen von ganzen Zahlen

Das Vergleichen von ganzen Zahlen ist wichtig, um ihre relativen Werte zu verstehen. Denken Sie daran, dass Zahlen auf der rechten Seite der Zahlengeraden immer größer sind als Zahlen auf der linken Seite der Zahlengeraden. Daher ist jede positive ganze Zahl immer größer als jede negative ganze Zahl.

Regeln zum Vergleichen von ganzen Zahlen

Jede positive ganze Zahl ist größer als Null. Zum Beispiel ist 5 > 0.
Jede negative ganze Zahl ist kleiner als Null. Zum Beispiel ist -3 < 0.
Jede positive ganze Zahl ist größer als jede negative ganze Zahl. Zum Beispiel ist 2 > -4.
Beim Vergleich zweier positiver ganzer Zahlen gilt: Je größer die Zahl, desto größer ihr Wert. Zum Beispiel ist 7 > 3.
Beim Vergleich zweier negativer ganzer Zahlen gilt: Je kleiner die Zahl (näher an Null), desto größer ihr Wert. Zum Beispiel ist -2 > -6. Dies kann knifflig sein, also stellen Sie sich die Zahlengerade vor!

Absolutwert

Der Absolutwert einer ganzen Zahl ist ihr Abstand von Null auf der Zahlengeraden. Der Absolutwert ist immer eine nicht-negative Zahl (positiv oder null). Wir bezeichnen den Absolutwert einer Zahl $ x $ mit vertikalen Strichen: $ |x| $ .

Beispiele für Absolutwerte

Hier sind einige Beispiele, um das Konzept des Absolutwerts zu veranschaulichen:

$ |5| = 5 $ (Der Absolutwert von 5 ist 5, weil er 5 Einheiten von Null entfernt ist).
$ |-3| = 3 $ (Der Absolutwert von -3 ist 3, weil er 3 Einheiten von Null entfernt ist).
$ |0| = 0 $ (Der Absolutwert von 0 ist 0, weil er 0 Einheiten von Null entfernt ist).

Warum ist der Absolutwert wichtig?

Der Absolutwert ist wichtig, weil er es uns ermöglicht, uns auf den Betrag einer Zahl zu konzentrieren, ohne ihre Richtung (positiv oder negativ) zu berücksichtigen. Dies ist in vielen Situationen nützlich, z. B. beim Berechnen von Entfernungen oder beim Vergleichen der Größen verschiedener Mengen.

Üben mit ganzen Zahlen

Der beste Weg, ganze Zahlen zu verstehen, ist, mit ihnen zu üben. Vergleichen Sie verschiedene Paare von ganzen Zahlen, suchen Sie ihre Absolutwerte und visualisieren Sie sie auf einer Zahlengeraden. Je mehr Sie üben, desto vertrauter werden Sie mit diesen grundlegenden Bausteinen der Mathematik.