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欢迎来到代数 II：代数 I 概念回顾

在我们深入研究代数 II 的复杂性之前，让我们花一些时间来回顾我们在代数 I 中学到的基本概念。本次复习将确保我们拥有坚实的基础，在此基础上我们可以构建更高级的代数技能。我们将重新审视线性方程、不等式和函数——代数的基础。

线性方程：基础

线性方程是可以写成 \( ax+b=c \) 形式的方程，其中 \( a \) 、 \( b \) 和 \( c \) 是常数， \( x \) 是变量。求解线性方程涉及分离变量以找到其值。记住关键原则：无论您对等式的一侧执行什么操作，都必须对另一侧执行相同的操作以保持相等。

求解线性方程：分步方法

以下是求解线性方程的一般策略：

1. 简化：合并等式两边的同类项。
2. 分离变量项：使用加法或减法将包含变量的项单独放在一边。
3. 求解变量：使用乘法或除法分离变量并找到其值。

例如，让我们求解方程 \( 2x+3=7 \) ：

1. 两边减去 3： \( 2x=4 \)
2. 两边除以 2： \( x=2 \)

线性不等式：超越相等

线性不等式类似于线性方程，但它们使用不等号（例如 \( < \) （小于）、 \( > \) （大于）、 \( \leq \) （小于或等于）或 \( \geq \) （大于或等于））代替等号。求解不等式与求解方程非常相似，但有一个重要的例外：当您将两边乘以或除以一个负数时，您必须反转不等号。

求解线性不等式：主要区别

考虑不等式 \( -3x<9 \) 。要解出 \( x \) ，我们将两边除以 -3。因为我们除以的是负数，所以我们必须翻转不等号，得到 \( x>-3 \) 。

不等式的解是一个值的范围，而不仅仅是一个单一的值。我们可以在数轴上表示这个范围。闭合圆圈表示端点包含在解中（对于 \( \leq \) 或 \( \geq \) ），而开放圆圈表示端点不包含在解中（对于 \( < \) 或 \( > \) ）。

绘制线性方程

线性方程可以在坐标平面上表示为直线。线性方程的标准形式是 \( y=mx+b \) ，其中 \( m \) 表示直线的斜率， \( b \) 表示 y 轴截距（直线与 y 轴相交的点）。斜率 \( m \) 描述了直线的陡峭度和方向。它计算为“上升除以运行”，或 \( y \) 的变化量除以 \( x \) 的变化量。

斜率-截距式

斜率-截距式 \( y=mx+b \) 使绘制线性方程变得容易。首先绘制 y 轴截距 \( (0,b) \) 。然后，使用斜率 \( m \) 找到直线上的另一个点。例如，如果 \( m=2/3 \) ，则从 y 轴截距向上移动 2 个单位，向右移动 3 个单位。绘制一条穿过这两个点的直线来绘制方程。

函数：变量之间的关系

函数是两组元素（称为定义域和值域）之间的关系。对于定义域中的每个元素，在值域中恰好有一个对应的元素。我们经常使用符号 \( f(x) \) 表示函数，其中 \( x \) 是输入（来自定义域的元素）， \( f(x) \) 是输出（值域中对应的元素）。 \( f(x) \) 读作“f of x”。

函数符号

对于函数 \( f(x)=3x+2 \) ，如果我们想找到当 \( x=4 \) 时的函数值，我们将 4 代入方程中的 \( x \) ： \( f(4)=3(4)+2=14 \) 。因此， \( f(4)=14 \) 。这意味着当输入为 4 时，输出为 14。

定义域和值域

函数的定义域是所有可能的输入值（x 值）的集合，而值域是所有可能的输出值（y 值）的集合。例如，对于函数 \( f(x)=\sqrt{x} \) ，定义域是所有非负实数（因为我们不能对负数取平方根），而值域也是所有非负实数。

线性函数

线性函数是图形为直线的函数。它可以写成 \( f(x)=mx+b \) 的形式，其中 \( m \) 是斜率， \( b \) 是 y 轴截距。线性函数具有恒定的变化率，这意味着斜率在直线上的任意两点之间是相同的。

识别线性函数

要确定一个函数是否是线性的，请检查任意两点之间的变化率是否恒定。如果变化率恒定，则该函数是线性的。如果变化率变化，则该函数是非线性的。