Урок

Добро пожаловать в Алгебру II: Обзор концепций Алгебры I

Прежде чем мы углубимся в сложности Алгебры II, давайте уделим время тому, чтобы освежить наше понимание фундаментальных концепций, изученных в Алгебре I. Этот обзор обеспечит прочную основу, на которой мы сможем построить более продвинутые алгебраические навыки. Мы вернемся к линейным уравнениям, неравенствам и функциям – строительным блокам алгебры.

Линейные уравнения: Основы

Линейные уравнения — это уравнения, которые можно записать в форме \( ax+b=c \) , где \( a \) , \( b \) и \( c \) — константы, а \( x \) — переменная. Решение линейного уравнения включает в себя изолирование переменной, чтобы найти ее значение. Помните ключевой принцип: какую бы операцию вы ни выполняли с одной стороны уравнения, вы должны выполнить ее и с другой стороны, чтобы сохранить равенство.

Решение линейных уравнений: Пошаговый подход

Вот общая стратегия решения линейных уравнений:

1. Упростите: Объедините подобные члены с обеих сторон уравнения.
2. Изолируйте член с переменной: Используйте сложение или вычитание, чтобы получить член с переменной отдельно с одной стороны.
3. Решите относительно переменной: Используйте умножение или деление, чтобы изолировать переменную и найти ее значение.

Например, давайте решим уравнение \( 2x+3=7 \) :

1. Вычтите 3 из обеих частей: \( 2x=4 \)
2. Разделите обе части на 2: \( x=2 \)

Линейные неравенства: За пределами равенства

Линейные неравенства аналогичны линейным уравнениям, но вместо знака равенства они используют символы неравенства, такие как \( < \) (меньше), \( > \) (больше), \( \leq \) (меньше или равно) или \( \geq \) (больше или равно). Решение неравенств очень похоже на решение уравнений, с одним важным исключением: когда вы умножаете или делите обе части на отрицательное число, вы должны изменить знак неравенства на противоположный.

Решение линейных неравенств: Ключевые различия

Рассмотрим неравенство \( -3x<9 \) . Чтобы решить относительно \( x \) , мы делим обе части на -3. Поскольку мы делим на отрицательное число, мы должны перевернуть знак неравенства, в результате чего получим \( x>-3 \) .

Решением неравенства является диапазон значений, а не только одно значение. Мы можем представить этот диапазон на числовой прямой. Замкнутый круг указывает на то, что конечная точка включена в решение (для \( \leq \) или \( \geq \) ), в то время как открытый круг указывает на то, что конечная точка не включена (для \( < \) или \( > \) ).

Графическое представление линейных уравнений

Линейные уравнения можно представить графически в виде прямых линий на координатной плоскости. Стандартная форма линейного уравнения — \( y=mx+b \) , где \( m \) представляет наклон линии, а \( b \) представляет точку пересечения с осью y (точку, где линия пересекает ось y). Наклон \( m \) описывает крутизну и направление линии. Он рассчитывается как «подъем над пробегом» или изменение \( y \) , деленное на изменение \( x \) .

Форма записи с угловым коэффициентом и точкой пересечения с осью Y

Форма записи с угловым коэффициентом и точкой пересечения с осью Y, \( y=mx+b \) , позволяет легко построить график линейного уравнения. Начните с нанесения точки пересечения с осью Y \( (0,b) \) . Затем используйте наклон \( m \) , чтобы найти другую точку на линии. Например, если \( m=2/3 \) , переместитесь на 2 единицы вверх и на 3 единицы вправо от точки пересечения с осью Y. Проведите линию через эти две точки, чтобы построить график уравнения.

Функции: Отношения между переменными

Функция — это отношение между двумя наборами элементов, называемыми областью определения и областью значений. Для каждого элемента в области определения существует ровно один соответствующий элемент в области значений. Мы часто представляем функции, используя обозначение \( f(x) \) , где \( x \) является входным значением (элементом из области определения), а \( f(x) \) — выходным значением (соответствующим элементом в области значений). \( f(x) \) читается как «f от x».

Функциональная нотация

Для функции \( f(x)=3x+2 \) , если мы хотим найти значение функции, когда \( x=4 \) , мы подставляем 4 вместо \( x \) в уравнении: \( f(4)=3(4)+2=14 \) . Следовательно, \( f(4)=14 \) . Это означает, что когда входное значение равно 4, выходное значение равно 14.

Область определения и область значений

Область определения функции — это набор всех возможных входных значений (значений x), в то время как область значений — это набор всех возможных выходных значений (значений y). Например, для функции \( f(x)=\sqrt{x} \) областью определения являются все неотрицательные действительные числа (поскольку мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа), а областью значений также являются все неотрицательные действительные числа.

Линейные функции

Линейная функция — это функция, график которой является прямой линией. Ее можно записать в виде \( f(x)=mx+b \) , где \( m \) — это наклон, а \( b \) — точка пересечения с осью y. Линейные функции имеют постоянную скорость изменения, что означает, что наклон одинаков между любыми двумя точками на линии.

Определение линейных функций

Чтобы определить, является ли функция линейной, проверьте, является ли скорость изменения между любыми двумя точками постоянной. Если скорость изменения постоянна, функция является линейной. Если скорость изменения меняется, то функция является нелинейной.