レッスン

代数IIへようこそ：代数Iの概念の復習

代数IIの複雑な内容に入る前に、代数Iで学んだ基本的な概念の理解を深めるために時間をかけましょう。この復習は、より高度な代数のスキルを構築するための強固な基盤を確保します。線形方程式、不等式、関数など、代数の基本となる要素を再確認します。

線形方程式：基本

線形方程式は、 \( ax+b=c \) の形式で記述できる方程式です。ここで、 \( a \) 、 \( b \) 、および \( c \) は定数であり、 \( x \) は変数です。線形方程式を解くには、変数を分離してその値を見つけます。重要な原則を覚えておいてください。方程式の一方で行う操作は、等価性を維持するために、もう一方にも実行する必要があります。

線形方程式の解法：ステップごとのアプローチ

線形方程式を解くための一般的な戦略を以下に示します。

1. 簡略化：方程式の両辺で同類項を組み合わせます。
2. 変数項を分離する：加算または減算を使用して、変数の項を一方の辺に単独で置きます。
3. 変数を解く：乗算または除算を使用して変数を分離し、その値を見つけます。

たとえば、方程式 \( 2x+3=7 \) を解いてみましょう：

1. 両辺から3を引きます： \( 2x=4 \)
2. 両辺を2で割ります： \( x=2 \)

線形不等式：等式を超えて

線形不等式は線形方程式に似ていますが、等号の代わりに、 \( < \) （より小さい）、 \( > \) （より大きい）、 \( \leq \) （以下）、または \( \geq \) （以上）などの不等号を使用します。不等式を解くことは方程式を解くことと非常によく似ていますが、1つの重要な例外があります。両辺に負の数を乗算または除算する場合は、不等号を反転する必要があります。

線形不等式の解法：主な違い

不等式 \( -3x<9 \) を考えます。 \( x \) を解くには、両辺を-3で割ります。負の数で割っているので、不等号を反転して \( x>-3 \) にする必要があります。

不等式の解は、単一の値ではなく、値の範囲です。この範囲を数直線上に表現できます。閉じた円は、終点が解に含まれることを示し（ \( \leq \) または \( \geq \) の場合）、開いた円は、終点が解に含まれないことを示します（ \( < \) または \( > \) の場合）。

線形方程式のグラフ化

線形方程式は、座標平面上の直線としてグラフで表現できます。線形方程式の標準形は \( y=mx+b \) です。ここで、 \( m \) は線の傾きを表し、 \( b \) はy切片（線がy軸と交差する点）を表します。傾き \( m \) は、線の急勾配と方向を表します。「ライズオーバーラン」、つまり \( y \) の変化量を \( x \) の変化量で割ったものとして計算されます。

傾き-切片形

傾き-切片形、 \( y=mx+b \) は、線形方程式をグラフ化するのを簡単にします。まず、y切片 \( (0,b) \) をプロットします。次に、傾き \( m \) を使用して、線上の別の点を見つけます。たとえば、 \( m=2/3 \) の場合、y切片から2単位上に移動し、3単位右に移動します。これら2つの点を通過する線を描画して、方程式をグラフ化します。

関数：変数間の関係

関数は、定義域と値域と呼ばれる2つの要素の集合の間の関係です。定義域のすべての要素に対して、値域に正確に対応する要素が1つあります。関数は、多くの場合、表記 \( f(x) \) を使用して表します。ここで、 \( x \) は入力（定義域からの要素）であり、 \( f(x) \) は出力（値域内の対応する要素）です。 \( f(x) \) は「f of x」と読みます。

関数表記

関数 \( f(x)=3x+2 \) について、 \( x=4 \) のときの関数の値を求めたい場合は、方程式の \( x \) に4を代入します： \( f(4)=3(4)+2=14 \) 。したがって、 \( f(4)=14 \) です。これは、入力が4の場合、出力が14であることを意味します。

定義域と値域

関数の定義域は、すべての可能な入力値（x-値）の集合であり、値域は、すべての可能な出力値（y-値）の集合です。たとえば、関数 \( f(x)=\sqrt{x} \) の場合、定義域はすべての非負の実数であり（負の数の平方根を取ることができないため）、値域もすべての非負の実数です。

線形関数

線形関数は、グラフが直線である関数です。これは、 \( f(x)=mx+b \) の形式で記述できます。ここで、 \( m \) は傾きであり、 \( b \) はy切片です。線形関数は変化率が一定であり、線の任意の2点間で傾きが同じであることを意味します。

線形関数の識別

関数が線形であるかどうかを判断するには、任意の2点間の変化率が一定かどうかを確認します。変化率が一定の場合、関数は線形です。変化率が異なる場合、関数は非線形です。