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बीजगणित II में आपका स्वागत है: बीजगणित I अवधारणाओं की समीक्षा

बीजगणित II की जटिलताओं में उतरने से पहले, आइए बीजगणित I में सीखी गई मूलभूत अवधारणाओं की अपनी समझ को ताज़ा करने के लिए कुछ समय निकालें। यह समीक्षा एक ठोस नींव सुनिश्चित करेगी जिस पर हम अधिक उन्नत बीजगणितीय कौशल का निर्माण कर सकते हैं। हम रेखीय समीकरणों, असमानताओं और कार्यों पर फिर से विचार करेंगे - बीजगणित के निर्माण खंड।

रेखीय समीकरण: मूल बातें

रेखीय समीकरण ऐसे समीकरण होते हैं जिन्हें \( ax+b=c \) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ \( a \) , \( b \) , और \( c \) स्थिरांक हैं और \( x \) चर है। एक रेखीय समीकरण को हल करने में चर को अलग करके उसका मान ज्ञात करना शामिल है। मुख्य सिद्धांत को याद रखें: आप समीकरण के एक तरफ जो भी क्रिया करते हैं, समानता बनाए रखने के लिए आपको दूसरी तरफ भी वही क्रिया करनी चाहिए।

रेखीय समीकरणों को हल करना: एक चरण-दर-चरण दृष्टिकोण

रेखीय समीकरणों को हल करने के लिए यहां एक सामान्य रणनीति दी गई है:

1. सरल बनाएं: समीकरण के दोनों तरफ समान पदों को मिलाएं।
2. चर पद को अलग करें: चर के साथ पद को एक तरफ अकेला करने के लिए जोड़ या घटाव का उपयोग करें।
3. चर के लिए हल करें: चर को अलग करने और उसका मान ज्ञात करने के लिए गुणा या भाग का उपयोग करें।

उदाहरण के लिए, आइए समीकरण \( 2x+3=7 \) को हल करें:

1. दोनों तरफ से 3 घटाएं: \( 2x=4 \)
2. दोनों तरफ 2 से भाग दें: \( x=2 \)

रेखीय असमानताएँ: समानता से परे

रेखीय असमानताएँ रेखीय समीकरणों के समान होती हैं, लेकिन बराबर चिह्न के बजाय, वे असमानता प्रतीकों जैसे \( < \) (से कम), \( > \) (से अधिक), \( \leq \) (से कम या बराबर), या \( \geq \) (से अधिक या बराबर) का उपयोग करती हैं। असमानताओं को हल करना समीकरणों को हल करने के समान ही है, सिवाय एक महत्वपूर्ण अपवाद के: जब आप दोनों तरफ एक ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते हैं, तो आपको असमानता चिह्न को उलट देना चाहिए।

रेखीय असमानताओं को हल करना: मुख्य अंतर

असमानता \( -3x<9 \) पर विचार करें। \( x \) के लिए हल करने के लिए, हम दोनों तरफ -3 से भाग देते हैं। क्योंकि हम एक ऋणात्मक संख्या से भाग दे रहे हैं, इसलिए हमें असमानता चिह्न को पलटना होगा, जिसके परिणामस्वरूप \( x>-3 \) प्राप्त होगा।

एक असमानता का हल मूल्यों की एक श्रेणी है, न कि केवल एक मान। हम इस श्रेणी को एक संख्या रेखा पर दर्शा सकते हैं। एक बंद वृत्त इंगित करता है कि अंतिम बिंदु हल में शामिल है (के लिए \( \leq \) या \( \geq \) ), जबकि एक खुला वृत्त इंगित करता है कि अंतिम बिंदु शामिल नहीं है (के लिए \( < \) या \( > \) )।

रेखीय समीकरणों का ग्राफिक चित्रण

रेखीय समीकरणों को ग्राफिक रूप से समन्वय तल पर सीधी रेखाओं के रूप में दर्शाया जा सकता है। एक रेखीय समीकरण का मानक रूप \( y=mx+b \) है, जहाँ \( m \) रेखा के ढलान का प्रतिनिधित्व करता है और \( b \) y-अवरोधन का प्रतिनिधित्व करता है (वह बिंदु जहाँ रेखा y-अक्ष को पार करती है)। ढलान \( m \) रेखा की खड़ीपन और दिशा का वर्णन करता है। इसकी गणना "ऊपर की ओर दौड़" के रूप में की जाती है, या \( y \) में परिवर्तन को \( x \) में परिवर्तन से विभाजित किया जाता है।

ढलान-अवरोधन रूप

ढलान-अवरोधन रूप, \( y=mx+b \) , एक रेखीय समीकरण को ग्राफिक रूप से चित्रित करना आसान बनाता है। y-अवरोधन \( (0,b) \) को प्लॉट करके प्रारंभ करें। फिर, रेखा पर एक और बिंदु खोजने के लिए ढलान \( m \) का उपयोग करें। उदाहरण के लिए, यदि \( m=2/3 \) , तो y-अवरोधन से 2 इकाई ऊपर और 3 इकाई दाईं ओर बढ़ें। समीकरण का ग्राफिक चित्रण करने के लिए इन दो बिंदुओं के माध्यम से एक रेखा खींचें।

फलन: चरों के बीच संबंध

एक फलन दो तत्वों के सेट के बीच एक संबंध है, जिसे डोमेन और रेंज कहा जाता है। डोमेन में प्रत्येक तत्व के लिए, रेंज में ठीक एक संबंधित तत्व होता है। हम अक्सर फलन को \( f(x) \) संकेतन का उपयोग करके दर्शाते हैं, जहाँ \( x \) इनपुट है (डोमेन का एक तत्व) और \( f(x) \) आउटपुट है (रेंज में संबंधित तत्व)। \( f(x) \) को "x का f" के रूप में पढ़ा जाता है।

फलन संकेतन

फलन \( f(x)=3x+2 \) के लिए, यदि हम फलन का मान ज्ञात करना चाहते हैं जब \( x=4 \) , तो हम समीकरण में \( x \) के लिए 4 प्रतिस्थापित करते हैं: \( f(4)=3(4)+2=14 \) । इसलिए, \( f(4)=14 \) । इसका मतलब है कि जब इनपुट 4 है, तो आउटपुट 14 है।

डोमेन और रेंज

एक फलन का डोमेन सभी संभावित इनपुट मानों (x-मानों) का समुच्चय है, जबकि रेंज सभी संभावित आउटपुट मानों (y-मानों) का समुच्चय है। उदाहरण के लिए, फलन \( f(x)=\sqrt{x} \) के लिए, डोमेन सभी गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं (क्योंकि हम एक ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल नहीं ले सकते), और रेंज भी सभी गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं।

रेखीय फलन

एक रेखीय फलन एक ऐसा फलन है जिसका ग्राफ़ एक सीधी रेखा है। इसे \( f(x)=mx+b \) रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ \( m \) ढलान है और \( b \) y-अवरोधन है। रेखीय फलनों में परिवर्तन की एक स्थिर दर होती है, जिसका अर्थ है कि रेखा पर किन्हीं दो बिंदुओं के बीच ढलान समान होता है।

रेखीय फलनों की पहचान करना

यह निर्धारित करने के लिए कि कोई फलन रेखीय है या नहीं, जाँच करें कि किन्हीं दो बिंदुओं के बीच परिवर्तन की दर स्थिर है या नहीं। यदि परिवर्तन की दर स्थिर है, तो फलन रेखीय है। यदि परिवर्तन की दर अलग-अलग है, तो फलन गैर-रेखीय है।