Leçon

Bienvenue en Algèbre II : Une revue des concepts d'Algèbre I

Avant de plonger dans les complexités de l'Algèbre II, prenons le temps de rafraîchir notre compréhension des concepts fondamentaux appris en Algèbre I. Cette revue assurera une base solide sur laquelle nous pourrons construire des compétences algébriques plus avancées. Nous allons revoir les équations linéaires, les inégalités et les fonctions - les éléments constitutifs de l'algèbre.

Équations linéaires : Les bases

Les équations linéaires sont des équations qui peuvent être écrites sous la forme \( ax+b=c \) , où \( a \) , \( b \) , et \( c \) sont des constantes et \( x \) est la variable. La résolution d'une équation linéaire implique l'isolement de la variable pour trouver sa valeur. Rappelez-vous le principe clé : quelle que soit l'opération que vous effectuez d'un côté de l'équation, vous devez l'effectuer de l'autre côté pour maintenir l'égalité.

Résolution d'équations linéaires : Une approche étape par étape

Voici une stratégie générale pour résoudre les équations linéaires :

1. Simplifier : Combiner les termes semblables des deux côtés de l'équation.
2. Isoler le terme variable : Utiliser l'addition ou la soustraction pour obtenir le terme avec la variable seul d'un côté.
3. Résoudre pour la variable : Utiliser la multiplication ou la division pour isoler la variable et trouver sa valeur.

Par exemple, résolvons l'équation \( 2x+3=7 \) :

1. Soustraire 3 des deux côtés : \( 2x=4 \)
2. Diviser les deux côtés par 2 : \( x=2 \)

Inégalités linéaires : Au-delà de l'égalité

Les inégalités linéaires sont similaires aux équations linéaires, mais au lieu d'un signe égal, elles utilisent des symboles d'inégalité tels que \( < \) (inférieur à), \( > \) (supérieur à), \( \leq \) (inférieur ou égal à), ou \( \geq \) (supérieur ou égal à). La résolution d'inégalités est très similaire à la résolution d'équations, avec une exception importante : lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés par un nombre négatif, vous devez inverser le signe d'inégalité.

Résolution d'inégalités linéaires : Principales différences

Considérez l'inégalité \( -3x<9 \) . Pour résoudre pour \( x \) , nous divisons les deux côtés par -3. Parce que nous divisons par un nombre négatif, nous devons inverser le signe d'inégalité, ce qui donne \( x>-3 \) .

La solution à une inégalité est une plage de valeurs, pas seulement une seule valeur. Nous pouvons représenter cette plage sur une ligne numérique. Un cercle fermé indique que le point final est inclus dans la solution (pour \( \leq \) ou \( \geq \) ), tandis qu'un cercle ouvert indique que le point final n'est pas inclus (pour \( < \) ou \( > \) ).

Graphiques d'équations linéaires

Les équations linéaires peuvent être représentées graphiquement sous forme de lignes droites sur le plan des coordonnées. La forme standard d'une équation linéaire est \( y=mx+b \) , où \( m \) représente la pente de la ligne et \( b \) représente l'ordonnée à l'origine (le point où la ligne croise l'axe des y). La pente \( m \) décrit la pente et la direction de la ligne. Elle est calculée comme la "montée sur la course", ou le changement en \( y \) divisé par le changement en \( x \) .

Forme pente-ordonnée à l'origine

La forme pente-ordonnée à l'origine, \( y=mx+b \) , facilite la représentation graphique d'une équation linéaire. Commencez par tracer l'ordonnée à l'origine \( (0,b) \) . Ensuite, utilisez la pente \( m \) pour trouver un autre point sur la ligne. Par exemple, si \( m=2/3 \) , déplacez-vous de 2 unités vers le haut et de 3 unités vers la droite à partir de l'ordonnée à l'origine. Tracez une ligne à travers ces deux points pour représenter graphiquement l'équation.

Fonctions : Relations entre les variables

Une fonction est une relation entre deux ensembles d'éléments, appelés le domaine et l'image. Pour chaque élément du domaine, il existe exactement un élément correspondant dans l'image. Nous représentons souvent les fonctions en utilisant la notation \( f(x) \) , où \( x \) est l'entrée (un élément du domaine) et \( f(x) \) est la sortie (l'élément correspondant dans l'image). \( f(x) \) se lit comme "f de x".

Notation de fonction

Pour la fonction \( f(x)=3x+2 \) , si nous voulons trouver la valeur de la fonction lorsque \( x=4 \) , nous substituons 4 à \( x \) dans l'équation : \( f(4)=3(4)+2=14 \) . Par conséquent, \( f(4)=14 \) . Cela signifie que lorsque l'entrée est 4, la sortie est 14.

Domaine et image

Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'entrée possibles (valeurs x), tandis que l'image est l'ensemble de toutes les valeurs de sortie possibles (valeurs y). Par exemple, pour la fonction \( f(x)=\sqrt{x} \) , le domaine est tous les nombres réels non négatifs (puisque nous ne pouvons pas prendre la racine carrée d'un nombre négatif), et l'image est également tous les nombres réels non négatifs.

Fonctions linéaires

Une fonction linéaire est une fonction dont le graphe est une ligne droite. Elle peut être écrite sous la forme \( f(x)=mx+b \) , où \( m \) est la pente et \( b \) est l'ordonnée à l'origine. Les fonctions linéaires ont un taux de variation constant, ce qui signifie que la pente est la même entre deux points quelconques sur la ligne.

Identification des fonctions linéaires

Pour déterminer si une fonction est linéaire, vérifiez si le taux de variation entre deux points quelconques est constant. Si le taux de variation est constant, la fonction est linéaire. Si le taux de variation varie, alors la fonction est non linéaire.