Lección

Bienvenido a Álgebra II: Un repaso de los conceptos de Álgebra I

Antes de sumergirnos en las complejidades de Álgebra II, tomemos un tiempo para refrescar nuestra comprensión de los conceptos fundamentales aprendidos en Álgebra I. Este repaso asegurará una base sólida sobre la cual podamos construir habilidades algebraicas más avanzadas. Revisaremos ecuaciones lineales, desigualdades y funciones, los bloques de construcción del álgebra.

Ecuaciones lineales: Lo básico

Las ecuaciones lineales son ecuaciones que pueden escribirse en la forma \( ax+b=c \) , donde \( a \) , \( b \) y \( c \) son constantes y \( x \) es la variable. Resolver una ecuación lineal implica aislar la variable para encontrar su valor. Recuerde el principio clave: cualquier operación que realice en un lado de la ecuación, debe realizarla en el otro lado para mantener la igualdad.

Resolviendo ecuaciones lineales: Un enfoque paso a paso

Aquí hay una estrategia general para resolver ecuaciones lineales:

1. Simplificar: Combine términos semejantes en ambos lados de la ecuación.
2. Aísle el término variable: Use la suma o la resta para obtener el término con la variable solo en un lado.
3. Resuelva para la variable: Use la multiplicación o la división para aislar la variable y encontrar su valor.

Por ejemplo, resolvamos la ecuación \( 2x+3=7 \) :

1. Reste 3 de ambos lados: \( 2x=4 \)
2. Divida ambos lados por 2: \( x=2 \)

Desigualdades lineales: Más allá de la igualdad

Las desigualdades lineales son similares a las ecuaciones lineales, pero en lugar de un signo igual, usan símbolos de desigualdad como \( < \) (menor que), \( > \) (mayor que), \( \leq \) (menor o igual que) o \( \geq \) (mayor o igual que). Resolver desigualdades es muy similar a resolver ecuaciones, con una excepción importante: cuando multiplica o divide ambos lados por un número negativo, debe invertir el signo de la desigualdad.

Resolviendo desigualdades lineales: Diferencias clave

Considere la desigualdad \( -3x<9 \) . Para resolver para \( x \) , dividimos ambos lados por -3. Debido a que estamos dividiendo por un número negativo, debemos invertir el signo de la desigualdad, lo que resulta en \( x>-3 \) .

La solución a una desigualdad es un rango de valores, no solo un valor único. Podemos representar este rango en una recta numérica. Un círculo cerrado indica que el punto final está incluido en la solución (para \( \leq \) o \( \geq \) ), mientras que un círculo abierto indica que el punto final no está incluido (para \( < \) o \( > \) ).

Graficando ecuaciones lineales

Las ecuaciones lineales se pueden representar gráficamente como líneas rectas en el plano cartesiano. La forma estándar de una ecuación lineal es \( y=mx+b \) , donde \( m \) representa la pendiente de la línea y \( b \) representa la intersección con el eje y (el punto donde la línea cruza el eje y). La pendiente \( m \) describe la inclinación y la dirección de la línea. Se calcula como la "elevación sobre el recorrido" o el cambio en \( y \) dividido por el cambio en \( x \) .

Forma pendiente-intersección

La forma pendiente-intersección, \( y=mx+b \) , facilita la graficación de una ecuación lineal. Comience trazando la intersección con el eje y \( (0,b) \) . Luego, use la pendiente \( m \) para encontrar otro punto en la línea. Por ejemplo, si \( m=2/3 \) , mueva 2 unidades hacia arriba y 3 unidades hacia la derecha desde la intersección con el eje y. Dibuje una línea a través de estos dos puntos para graficar la ecuación.

Funciones: Relaciones entre variables

Una función es una relación entre dos conjuntos de elementos, llamados el dominio y el rango. Para cada elemento en el dominio, hay exactamente un elemento correspondiente en el rango. A menudo representamos funciones usando la notación \( f(x) \) , donde \( x \) es la entrada (un elemento del dominio) y \( f(x) \) es la salida (el elemento correspondiente en el rango). \( f(x) \) se lee como "f de x".

Notación de función

Para la función \( f(x)=3x+2 \) , si queremos encontrar el valor de la función cuando \( x=4 \) , sustituimos 4 por \( x \) en la ecuación: \( f(4)=3(4)+2=14 \) . Por lo tanto, \( f(4)=14 \) . Esto significa que cuando la entrada es 4, la salida es 14.

Dominio y rango

El dominio de una función es el conjunto de todos los posibles valores de entrada (valores de x), mientras que el rango es el conjunto de todos los posibles valores de salida (valores de y). Por ejemplo, para la función \( f(x)=\sqrt{x} \) , el dominio son todos los números reales no negativos (ya que no podemos sacar la raíz cuadrada de un número negativo), y el rango también son todos los números reales no negativos.

Funciones lineales

Una función lineal es una función cuya gráfica es una línea recta. Se puede escribir en la forma \( f(x)=mx+b \) , donde \( m \) es la pendiente y \( b \) es la intersección con el eje y. Las funciones lineales tienen una tasa de cambio constante, lo que significa que la pendiente es la misma entre dos puntos cualesquiera en la línea.

Identificando funciones lineales

Para determinar si una función es lineal, verifique si la tasa de cambio entre dos puntos cualesquiera es constante. Si la tasa de cambio es constante, la función es lineal. Si la tasa de cambio varía, entonces la función no es lineal.