Lektion

Willkommen zu Algebra II: Eine Wiederholung der Algebra I Konzepte

Bevor wir in die Komplexitäten von Algebra II eintauchen, nehmen wir uns etwas Zeit, um unser Verständnis der grundlegenden Konzepte aus Algebra I aufzufrischen. Diese Wiederholung stellt eine solide Grundlage sicher, auf der wir fortgeschrittenere algebraische Fähigkeiten aufbauen können. Wir werden lineare Gleichungen, Ungleichungen und Funktionen – die Bausteine der Algebra – wiederholen.

Lineare Gleichungen: Die Grundlagen

Lineare Gleichungen sind Gleichungen, die in der Form \( ax+b=c \) geschrieben werden können, wobei \( a \) , \( b \) und \( c \) Konstanten sind und \( x \) die Variable ist. Das Lösen einer linearen Gleichung beinhaltet das Isolieren der Variablen, um ihren Wert zu finden. Denken Sie an das Schlüsselprinzip: Welche Operation Sie auf einer Seite der Gleichung durchführen, müssen Sie auch auf der anderen Seite durchführen, um die Gleichheit zu erhalten.

Lösen linearer Gleichungen: Ein schrittweiser Ansatz

Hier ist eine allgemeine Strategie zum Lösen linearer Gleichungen:

1. Vereinfachen: Fassen Sie gleichartige Terme auf beiden Seiten der Gleichung zusammen.
2. Isolieren Sie den Variablenterm: Verwenden Sie Addition oder Subtraktion, um den Term mit der Variablen allein auf einer Seite zu erhalten.
3. Lösen Sie nach der Variablen auf: Verwenden Sie Multiplikation oder Division, um die Variable zu isolieren und ihren Wert zu finden.

Lösen wir zum Beispiel die Gleichung \( 2x+3=7 \) :

1. Subtrahieren Sie 3 von beiden Seiten: \( 2x=4 \)
2. Dividieren Sie beide Seiten durch 2: \( x=2 \)

Lineare Ungleichungen: Jenseits der Gleichheit

Lineare Ungleichungen ähneln linearen Gleichungen, aber anstelle eines Gleichheitszeichens verwenden sie Ungleichheitszeichen wie \( < \) (kleiner als), \( > \) (größer als), \( \leq \) (kleiner oder gleich) oder \( \geq \) (größer oder gleich). Das Lösen von Ungleichungen ist dem Lösen von Gleichungen sehr ähnlich, mit einer wichtigen Ausnahme: Wenn Sie beide Seiten mit einer negativen Zahl multiplizieren oder dividieren, müssen Sie das Ungleichheitszeichen umkehren.

Lösen linearer Ungleichungen: Hauptunterschiede

Betrachten Sie die Ungleichung \( -3x<9 \) . Um nach \( x \) aufzulösen, dividieren wir beide Seiten durch -3. Da wir durch eine negative Zahl dividieren, müssen wir das Ungleichheitszeichen umkehren, was zu \( x>-3 \) führt.

Die Lösung einer Ungleichung ist ein Wertebereich, nicht nur ein einzelner Wert. Wir können diesen Bereich auf einer Zahlengeraden darstellen. Ein geschlossener Kreis gibt an, dass der Endpunkt in der Lösung enthalten ist (für \( \leq \) oder \( \geq \) ), während ein offener Kreis angibt, dass der Endpunkt nicht enthalten ist (für \( < \) oder \( > \) ).

Graphische Darstellung linearer Gleichungen

Lineare Gleichungen können grafisch als gerade Linien in der Koordinatenebene dargestellt werden. Die Standardform einer linearen Gleichung ist \( y=mx+b \) , wobei \( m \) die Steigung der Linie und \( b \) den y-Achsenabschnitt darstellt (der Punkt, an dem die Linie die y-Achse kreuzt). Die Steigung \( m \) beschreibt die Steilheit und Richtung der Linie. Sie wird als "Anstieg über Verlauf" oder die Änderung in \( y \) dividiert durch die Änderung in \( x \) berechnet.

Steigungsabschnittsform

Die Steigungsabschnittsform, \( y=mx+b \) , erleichtert das Zeichnen einer linearen Gleichung. Beginnen Sie mit dem Plotten des y-Achsenabschnitts \( (0,b) \) . Verwenden Sie dann die Steigung \( m \) , um einen weiteren Punkt auf der Linie zu finden. Wenn zum Beispiel \( m=2/3 \) , bewegen Sie sich 2 Einheiten nach oben und 3 Einheiten nach rechts vom y-Achsenabschnitt aus. Zeichnen Sie eine Linie durch diese beiden Punkte, um die Gleichung grafisch darzustellen.

Funktionen: Beziehungen zwischen Variablen

Eine Funktion ist eine Beziehung zwischen zwei Mengen von Elementen, die als Definitionsbereich und Wertebereich bezeichnet werden. Für jedes Element im Definitionsbereich gibt es genau ein entsprechendes Element im Wertebereich. Wir stellen Funktionen oft mit der Notation \( f(x) \) dar, wobei \( x \) die Eingabe (ein Element aus dem Definitionsbereich) und \( f(x) \) die Ausgabe (das entsprechende Element im Wertebereich) ist. \( f(x) \) wird als "f von x" gelesen.

Funktionsnotation

Für die Funktion \( f(x)=3x+2 \) , wenn wir den Wert der Funktion finden wollen, wenn \( x=4 \) , setzen wir 4 für \( x \) in die Gleichung ein: \( f(4)=3(4)+2=14 \) . Daher ist \( f(4)=14 \) . Das bedeutet, dass, wenn die Eingabe 4 ist, die Ausgabe 14 ist.

Definitionsbereich und Wertebereich

Der Definitionsbereich einer Funktion ist die Menge aller möglichen Eingabewerte (x-Werte), während der Wertebereich die Menge aller möglichen Ausgabewerte (y-Werte) ist. Zum Beispiel ist für die Funktion \( f(x)=\sqrt{x} \) der Definitionsbereich alle nicht-negativen reellen Zahlen (da wir die Quadratwurzel einer negativen Zahl nicht ziehen können), und der Wertebereich ist auch alle nicht-negativen reellen Zahlen.

Lineare Funktionen

Eine lineare Funktion ist eine Funktion, deren Graph eine gerade Linie ist. Sie kann in der Form \( f(x)=mx+b \) geschrieben werden, wobei \( m \) die Steigung und \( b \) der y-Achsenabschnitt ist. Lineare Funktionen haben eine konstante Änderungsrate, was bedeutet, dass die Steigung zwischen zwei beliebigen Punkten auf der Linie gleich ist.

Identifizieren linearer Funktionen

Um festzustellen, ob eine Funktion linear ist, überprüfen Sie, ob die Änderungsrate zwischen zwei beliebigen Punkten konstant ist. Wenn die Änderungsrate konstant ist, ist die Funktion linear. Wenn die Änderungsrate variiert, dann ist die Funktion nichtlinear.