درس

مرحبًا بك في الجبر الثاني: مراجعة لمفاهيم الجبر الأول

قبل أن نتعمق في تعقيدات الجبر الثاني، دعنا نأخذ بعض الوقت لتحديث فهمنا للمفاهيم الأساسية التي تعلمناها في الجبر الأول. ستضمن هذه المراجعة أساسًا متينًا يمكننا بناء مهارات جبرية أكثر تقدمًا عليه. سنعيد النظر في المعادلات الخطية والمتباينات والدوال - اللبنات الأساسية للجبر.

المعادلات الخطية: الأساسيات

المعادلات الخطية هي معادلات يمكن كتابتها في الصورة \( ax+b=c \) ، حيث \( a \) و \( b \) و \( c \) ثوابت و \( x \) هو المتغير. يتضمن حل المعادلة الخطية عزل المتغير لإيجاد قيمته. تذكر المبدأ الأساسي: أي عملية تجريها على أحد جانبي المعادلة، يجب أن تجريها على الجانب الآخر للحفاظ على المساواة.

حل المعادلات الخطية: نهج خطوة بخطوة

إليك إستراتيجية عامة لحل المعادلات الخطية:

1. التبسيط: اجمع الحدود المتشابهة على جانبي المعادلة.
2. اعزل حد المتغير: استخدم الجمع أو الطرح لجعل الحد الذي يحتوي على المتغير وحده في أحد الجوانب.
3. حل للمتغير: استخدم الضرب أو القسمة لعزل المتغير وإيجاد قيمته.

على سبيل المثال، دعنا نحل المعادلة \( 2x+3=7 \) :

1. اطرح 3 من كلا الجانبين: \( 2x=4 \)
2. اقسم كلا الجانبين على 2: \( x=2 \)

المتباينات الخطية: ما وراء المساواة

المتباينات الخطية تشبه المعادلات الخطية، ولكن بدلاً من علامة يساوي، فإنها تستخدم رموز المتباينات مثل \( < \) (أقل من)، \( > \) (أكبر من)، \( \leq \) (أقل من أو يساوي)، أو \( \geq \) (أكبر من أو يساوي). يشبه حل المتباينات إلى حد كبير حل المعادلات، مع استثناء مهم واحد: عند ضرب أو قسمة كلا الجانبين على رقم سالب، يجب عليك عكس علامة المتباينة.

حل المتباينات الخطية: الاختلافات الرئيسية

ضع في اعتبارك المتباينة \( -3x<9 \) . لحل \( x \) ، نقسم كلا الجانبين على -3. نظرًا لأننا نقسم على رقم سالب، يجب علينا قلب علامة المتباينة، مما يؤدي إلى \( x>-3 \) .

حل المتباينة هو نطاق من القيم، وليس مجرد قيمة واحدة. يمكننا تمثيل هذا النطاق على خط الأعداد. تشير الدائرة المغلقة إلى أن نقطة النهاية مضمنة في الحل (لـ \( \leq \) أو \( \geq \) )، بينما تشير الدائرة المفتوحة إلى أن نقطة النهاية غير مضمنة (لـ \( < \) أو \( > \) ).

تمثيل المعادلات الخطية بيانيًا

يمكن تمثيل المعادلات الخطية بيانيًا كخطوط مستقيمة على المستوى الإحداثي. الصورة القياسية للمعادلة الخطية هي \( y=mx+b \) ، حيث يمثل \( m \) ميل الخط ويمثل \( b \) التقاطع مع المحور y (النقطة التي يتقاطع فيها الخط مع المحور y). يصف الميل \( m \) انحدار الخط واتجاهه. يتم حسابه على أنه "الارتفاع على الامتداد"، أو التغير في \( y \) مقسومًا على التغير في \( x \) .

صيغة الميل والمقطع الصادي

صيغة الميل والمقطع الصادي، \( y=mx+b \) ، تجعل من السهل تمثيل المعادلة الخطية بيانيًا. ابدأ برسم نقطة التقاطع مع المحور y \( (0,b) \) . بعد ذلك، استخدم الميل \( m \) للعثور على نقطة أخرى على الخط. على سبيل المثال، إذا كان \( m=2/3 \) ، فتحرك وحدتين لأعلى و 3 وحدات إلى اليمين من نقطة التقاطع مع المحور y. ارسم خطًا عبر هاتين النقطتين لتمثيل المعادلة بيانيًا.

الدوال: العلاقات بين المتغيرات

الدالة هي علاقة بين مجموعتين من العناصر، تسمى المجال والمدى. لكل عنصر في المجال، يوجد عنصر واحد مطابق تمامًا في المدى. غالبًا ما نمثل الدوال باستخدام الترميز \( f(x) \) ، حيث \( x \) هو الإدخال (عنصر من المجال) و \( f(x) \) هو الإخراج (العنصر المطابق في المدى). تُقرأ \( f(x) \) على أنها "دالة f لـ x".

تدوين الدالة

بالنسبة للدالة \( f(x)=3x+2 \) ، إذا أردنا إيجاد قيمة الدالة عندما \( x=4 \) ، فإننا نستبدل 4 بـ \( x \) في المعادلة: \( f(4)=3(4)+2=14 \) . لذلك، \( f(4)=14 \) . هذا يعني أنه عندما يكون الإدخال 4، يكون الإخراج 14.

المجال والمدى

مجال الدالة هو مجموعة جميع قيم الإدخال الممكنة (قيم x)، بينما المدى هو مجموعة جميع قيم الإخراج الممكنة (قيم y). على سبيل المثال، بالنسبة للدالة \( f(x)=\sqrt{x} \) ، يكون المجال هو جميع الأعداد الحقيقية غير السالبة (نظرًا لأنه لا يمكننا أخذ الجذر التربيعي لعدد سالب)، والمدى هو أيضًا جميع الأعداد الحقيقية غير السالبة.

الدوال الخطية

الدالة الخطية هي دالة يكون الرسم البياني لها خطًا مستقيمًا. يمكن كتابتها في الصورة \( f(x)=mx+b \) ، حيث \( m \) هو الميل و \( b \) هو التقاطع مع المحور y. تتميز الدوال الخطية بمعدل تغيير ثابت، مما يعني أن الميل هو نفسه بين أي نقطتين على الخط.

تحديد الدوال الخطية

لتحديد ما إذا كانت الدالة خطية، تحقق مما إذا كان معدل التغير بين أي نقطتين ثابتًا. إذا كان معدل التغير ثابتًا، فإن الدالة خطية. إذا كان معدل التغير متغيرًا، فإن الدالة غير خطية.